Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compozitiie asociativă $x \circ y=\frac{1}{3} x y+x+y$.

$5 p$ a) Demonstrați că $x \circ y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p b) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x-3$. Arătați că $f(x y)=f(x) \circ f(y)$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$

$5 p$ c) Demonstrați că $x_{1} \circ x_{2} \circ \ldots \circ x_{n}=\frac{\left(x_{1}+3\right)\left(x_{2}+3\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{n}+3\right)-3^{n}}{3^{n-1}}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi orice numere reale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}$ și $x_{n}$.

Answer 1

$x \circ y=\frac{1}{3} x y+x+y$

a)

$\frac{1}{3} x y+x+y+3-3=\frac{x}{3}(y+3)+(y+3)-3=(y+3)(\frac{x}{3}+1)-3=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$

b)

f(x)=3x-3

f(xy)=3xy-3

$f(x)\circ f(y)=\frac{1}{3}(3x-3)(3y-3)+3x-3+3y-3=3xy-3x-3y+3+3x-6+3y=3xy-3=f(xy)$

c)

$x_1\circ x_2\circ x_3=\frac{1}{3} [\frac{1}{3}(x_1+3)(x_2+3)-3 +3](x_3+3)-3=\frac{1}{9}(x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)-3$

De aici deducem ca:

$x_1\circ x_2\circ x_3\circ . . .\circ x_n=\frac{1}{3^{n-1}} (x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3$

$x_1\circ x_2\circ x_3\circ . . .\circ x_n=\frac{1}{3^{n-1}} (x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3=\\\\=\frac{(x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3^n}{3^{n-1}}$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918884

#BAC2022

#SPJ4