Question

Se consideră sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}x+a y=1 \\ 2 x+y+a z=4 \text {, unde } a \text { este număr real şi } A(a) \text { matricea } \\ -3 x-y+z=1\end{array}\right.$ coeficienților sistemului.

5p a) Arătați că $\operatorname{det}(A(0))=1$.

5p b) Pentru $a=-1$, determinați soluția sistemului de ecuații.

$5 p$ c) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $p$, matricea $A(p) [tex] este inversabilă pentru orice număr rațional [tex] p$.

Answer 1

$\left\{\begin{array}{c}x+a y=1 \\ 2 x+y+a z=4 \\ -3 x-y+z=1\end{array}\right$

a)

Calculam det(A(0)), inlocuind pe a cu 0 si apoi adaugand primele doua linii ale determinantului:

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\-3&-1&1\end{array}\right|$

                       1       0     0

                       2      1      0

det(A(0))=(1+0+0)-(0+0+0)=1

b)

Vom folosi Metoda lui Cramer

Formam determinantul sistemului Δ, inlocuin pe a cu -1

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&1&-1\\-3&-1&1\end{array}\right|$

           1       -1      0

           2       1      -1

Δ=(1+0-3)-(0+1-2)=-2+1=-1

Formam determinantul $\Delta_x$ inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&0\\4&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right|$

            1     -1     0

            4     1     -1

$\Delta_x=(1+0+1)-(0+1-4)=2+3=5$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =-5$

Formam determinantul $\Delta_y$ inlocuind coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&4&-1\\-3&1&1\end{array}\right|$

             1     1     0

             2    4   -1

$\Delta_y=(4+0+3)-(0-1+2)=7-6=6\\\\y=-6$

Formam determinantul $\Delta_z$ inlocuind coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\2&1&4\\-3&-1&1\end{array}\right|$

             1      -1     1

             2      1     4

$\Delta_z=(1-2+12)-(-3-4-2)=11+9=20\\\\z=-20$

c)

Ca o matrice sa fie inversabila trebuie ca determinantul sau sa fie diferit de zero

$det(A(p))=\left|\begin{array}{ccc}1&p&0\\2&1&p\\-3&-1&1\end{array}\right|$

                       1      p     0

                       2     1      p

det(A(p))=(1+0-3p²)-(0-p+2p)=-3p²-p+1

-3p²-p+1=0

Δ=1+12=13

$p_1=\frac{1+\sqrt{13} }{-6} \notin Q\\\\p_1=\frac{1-\sqrt{13} }{-6} \notin Q$

Pentru orice p rational, matricea A(p) este inversabila

Un exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/804805

#BAC2022

#SPJ4