Question

Se da numarul A=5+5 (la puterea 2)+5 (la puterea 3)+ ... +5 (la puterea 204).
Este A divizibil cu 31 ? Dar cu 13?

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

m(k) - multiplu de k

5+5^2 +5^3 =5(1+5+5^2) = 5*31

Le grupam cate 3:

5(1+5+5^2) +5^4(1+5+5^2) +...+5^202(1+5+5^2) =

5*31 +5^4*31 +..+5^202*31 = m(31)

A divizibil cu 31

5+5^2 +5^3 +5^4 +5^5 +5^6 +...+5^204 =

5+5^3 + 5^2 +5^4 +...+5^202 + 5^204 =

5(1 +25) +5^2(1 +25) +5^4(1 +25) + ...+5^202(1 +25) =

5*26 +5^2*26 +...+5^202*26 = m(26) = m(13)

A divizibil cu 13

Answer 2

Răspuns:

A este divizibil și cu 31 și cu 13

Explicație pas cu pas:

a)

Grupăm termenii câte 3 și dăm factor comun pe cel mai mic:

În total avem 204 termeni. 204:3 = 68, ceea ce înseamnă că vom avea 68 de grupe de câte 3 termeni.  

A = (5 + 5² + 5³) + (5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + ..... + (5²⁰² + 5²⁰³ + 5²⁰⁴)

A = 5(1+5+25) + 5⁴(1+5+25) + .... + 5²⁰²(1+5+25)

Dăm factor comun pe (1+5+25) :

A = (1+5+25)(5+5⁴+ .... +5²⁰²)

A = 31(5+5⁴+ .... +5²⁰²) ⇒ A este divizibil cu 31

b)

Grupăm termenii câte 4 și dăm factor comun pe cel mai mic

În total avem 204 termeni. 204:4 = 51, ceea ce înseamnă că vom avea 51 de grupe de câte 4 termeni.  

A = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) + .....+ (5²⁰¹ + 5²⁰² + 5²⁰³ + 5²⁰⁴)

A = 5(1+5+25+125)+5⁵(1+5+25+125) + .... + 5²⁰¹(1+5+25+125)

Dăm factor comun pe (1+5+25+125) :

A = (1+5+25+125)(5+5⁵+ .... +5²⁰¹)

A = 156(5+5⁵+ .... +5²⁰¹)

Scriem pe 156 ca fiind 13×12

A = 13×12(5+5⁵+ .... +5²⁰¹) ⇒ A este divizibil cu 13