Question

$n = 1 + 2 + {2}^{2} + {2}^{3} + {2}^{4} + ... + {2}^{2011 } + {2}^{2012} se \: divide \: cu \: 7$
​

Answer 1

${2}^{2012} \times {2}^{2013} \div 2 = \\ {2}^{4025} \div {2}^{1} = \\ {2}^{4026}$

U2^4026=

4026:4= 1006 rest 2

U2^4026= U2^2

U2^4026= 4

Iar 7 nu se împarte la nimic ce se termina cu 4

=> nu este divizibil cu 7

Sper că te-am ajutat!!

Answer 2

Răspuns:

n se divide cu 7

Explicație pas cu pas:

n = 1+2+2²+2³+2⁴ + ... + 2²⁰¹¹  + 2²⁰¹²     se divide cu 7

Aceasta adunare daca o transformam intr-un produs de factori si un factor este 7, atunci numarul n se divide cu 7.

Trebuie sa gasim un divizor 7 al lui n

n =  1  +  2 ( 1+2+2² +2³ +...+ 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹  )

n = 1 + 2 [ 1+ 2 ( 1+2+2² +...+ 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ ) ]

n = 1+2 { 1 + 2 [1+2 (1+2 +...+ 2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ )]}

Ce observam ?

Daca tot vom da factor comun pe 2, ultimii termeni ai adunarii se micsoreaza cu 1

Putem scrie:

n = 1+2 { 1 + 2 [1+2 (1+2 ····································)1 + 2· ( 1+2² + 2¹ )]}

n = 1+2 { 1 + 2 [1+2 (1+2 ·······························)1 + 2· [ 1 +2· (2+1)]}

n = 1+2 { 1 + 2 [1+2 (1+2 ·······························)1 + 2· [ 1 +2· (3)]}

n = 1+2 { 1 + 2 [1+2 (1+2 ·······························)1 + 2· [ 1 +6]}

                       [ 1 +6] = 7

Deci n se divide cu 7