Question

Vă rog, o cheie de rezolvare?..

Answer 1

$\displaystyle Numerele~fiind~in~progresie~geometrica,~ele~vor~fi~de~forma \\ \\ a,~aq,~aq^2.~(unde~q~este~ratia~progresiei~geometrice). \\ \\ Conform~ipotezei,~aceste~numere~sunt~si~in~progresie~aritmetica, \\ \\ deci~2aq=a+aq^2. \\ \\ aq^2-2aq+a=0 \\ \\ a(q^2-2q+1)=0 \\ \\ a(q-1)^2=0. \\ \\ Deci~a=0~sau~q=1. \\ \\ Daca~a=0,~atunci~numerele~sunt~0,0,0. \\ \\ Daca~q=1,~atunci~numerele~sunt~de~forma~(a,a,a). \\ \\ Deci~numerele~a,b,c~trebuie~sa~fie~egale.$

Answer 2

a, b, c sunt în progresie aritmetică și în progresie geometrică dacă:

$\it b = \dfrac{a+c}{2} =\sqrt{ac}\ \ \ \ \ \ (*)$

Din relația (*) rezultă că media aritmetică a numerelor a și c este egală cu media lor geometrică, iar acest lucru are loc numai dacă a=c.

Prin urmare, b=a=c, adică cele trei numere sunt egale.