Question

Fie p un număr prim. Se consideră p numere naturale nenule cu suma egală cu ${p}^{2}$. Să se afle cel mai mare divizor comun al acestor numere, știind că măcar două sunt distincte.​

Answer 1

Răspuns:

Cel mai mare divizor comun al celor p numere=1.

Explicație pas cu pas:

Notăm cele p numere: a1; a2; a3;....;ap.

a1+a2+…+ap=p²

p= număr prim

Notăm d = cel mai mare divizor comun al celor p numere.

d=( a1;a2;…;ap)

=>a1=d*x1; a2=d*x2; …;ap=d*xp

d*x1+d*x2+ …+d*xp=p²;

d(x1+x2+….+xp)= p²

p este prim, avem 2 variante:

1. d=x1+x2+….+xp= p

Suma a p numere naturale nenule, dintre care cel puțin două sunt distincte, nu poate fi p, deci, nu convine prima variantă.

2. d=1 și x1+x2+….+xp= p²

=>x1=a1; x2=a2; ….;xp=ap

În concluzie, ( a1;a2;…;ap)=1