Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & a\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=-1 \\ -2 x-3 y=1 \\ 2 x+4 y+a z=-2\end{array}\right.$, unde $a$ este număr real.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(a))=a+2$, pentru orice număr real $a$

$5 \mathbf{p}$ b) Pentru $a=0$, determinați inversa matricei $A(a)$.

$5 p$ c) Pentru $a \neq-2$, rezolvați sistemul de ecuatiii.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & a\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(a)), adaugam primele doua linii ale determinantului si obtinem:

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & a\end{array}\right|$

                       1       2      -1

                      -2     -3      0

det(A(a))=(-3a+8+0)-(6+0-4a)=-3a+8-6+4a=a+2

b)

a=0

Inversa matricei A(a)

$A(a)^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^*$

Transpusa matricei

$A(0)^t=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 2 & -3 &4 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$

$A(0)^*=\left(\begin{array}{ccc}0& -4 & -3 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$

det(A(0))=0+2=2

$A(0)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right)$

c)

a≠-2

det(A(a))≠0⇒ metoda lui Cramer

Determinantului sistemului

Δ=a+2

Inlocuim coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \\ -2 & 4 & a\end{array}\right|$

            -1       2     -1

             1      -3      0

$\Delta_x=3a-4+0-(-6+0+2a)=a+2\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =1$

Inlocuim coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 &-2 & a\end{array}\right|$

             1       -1     -1

            -2       1      0

$\Delta_y=a-4+0-(-2+0+2a)=-a-2=-(a+2)\\\\y=\frac{\Dellta_y}{\Delta}=-1$

Inlocuim coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right|$

             1       2     -1

            -2     -3      1

$\Delta_z=6+8+4-(6+4+8)=0\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=0$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918940

#BAC2022

#SPJ4