Question

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}-\frac{1}{2} \bar{z}_{1}-\frac{1}{2} \bar{z}_{2}$, unde $\bar{Z}$ este conjugatul lui $z$.

a) Arătați că $(1+i) \circ(1-i)=1$.

b) Se consideră $H=\{2+b i \mid b \in \mathbb{R}\}$. Arătați că $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{C}$ în raport cu legea de compoziție , $\circ "$.

c) Se consideră numărul complex $z_{0}$. Arătați că există o infinitate de numere complexe z cu proprietatea că numărul $z_{0} \circ z$ este real.

Answer 1

$z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}-\frac{1}{2} \bar{z}_{1}-\frac{1}{2} \bar{z}_{2}$

a)

$\bar{z_1}=1-i\\\\\bar{z_2}=1+i$

$(1+i)*(1-i)=1+i+1-i-\frac{1-i}{2}-\frac{1+i}{2} =2+\frac{i}{2}-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} =2-1=1$

b)

$z_1=2+ai\\\\z_2=2+bi$

$\bar{z_1}=2-ai\\\\\bar{z_2}=2-bi$

$z_{1} \circ z_{2}=2+ai+2+bi-\frac{2-ai}{2}-\frac{2-bi}{2}=4+(a+b)i-\frac{4-(a+b)i}{2} =4+(a+b)i-2+\frac{(a+b)i}{} =2+\frac{3}{2}(a+b)i$

De aici rezulta ca H este parte stabila a lui C in raport cu legea de compozitie

c)

$Fie\ z_0=a+bi\\\\Fie\ z=x-bi\\\\z_0\circ z=a+bi+x-bi-\frac{a-bi}{2}-\frac{x+bi}{2} =a+x-\frac{a}{2}+\frac{bi}{2}-\frac{x}{2} -\frac{bi}{2}=\frac{a+x}{2}$

Cum a si x∈R⇒ $z_0\circ z\in R$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919127

#BAC2022

#SPJ4