Question

Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-3 x+2}$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{\left(x^{3}-3 x+2\right)^{2}}}, x \in(1,+\infty)$. $5 \mathbf{p} \quad$ b) Calculatii $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

5p c) Arătați că, pentru orice $a \in(0,+\infty)$, ecuația $f(x)=a$ are soluție unică.

Answer 1

$f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-3 x+2}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=[(x^3-3x+2)^{\frac{1}{3}}]'=\frac{1}{3} (x^3-3x+2)^{\frac{-2}{3}}(3x^2-3)=(x^3-3x+2)^{\frac{-2}{3}}(x^2-1)=\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2)^2} } =\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2)^2} }$

b)

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2} }{x-1}=\frac{0}{0}$

Cautam sa simplificam fractia

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2} }{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)} }{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)} }{\sqrt[3]{(x-1)^3} }=\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{(x+2)} }{\sqrt[3]{x-1} }=\frac{\sqrt[3]{3} }{0}=+\infty$

c)

$\sqrt[3]{x^{3}-3 x+2}=a\ \ |^3\\\\x^3-3x+2=a^3$

Monotonia functiei f

f'(x)=0

(x-1)(x+1)=0

x=1 si x=-1

Tabel semn

x        1                 +∞

f'(x)   + + + + + + + +

f(x)            ↑

f este strict crescatoare pe (1,+∞)⇒ f este injectiva

$\lim_{x \to 1} f(x)=\sqrt[3]{1-2+2} =1\\\\ \lim_{x \to+ \infty} f(x)=+\infty$

a∈(0,+∞)   ⇒ f are solutie unica

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919122

#BAC2022

#SPJ4