Question

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=0 \\ 2 x+m y+z=0 \text {, unde } m \text { este } \\ x-3 y+2 z=0\end{array}\right.$ număr real.

5 p arătați că $\operatorname{det}(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $m$.

$5 p$ b) Determinați numărul real $m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $(0,0,0)$.

5p c) Pentru $m=9$, se consideră $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $x_{0}, y_{0}$ şi $z_{0}$ numere reale astfel încât $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \neq(0,0,0)$. Calculați $\frac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-z_{0}^{2}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$.

Answer 1

$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(m)), adaugam primele doua linii ale determinantului si obtinem:

$det(A(m))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right|$

                       1      2    1

                       2     m   1

det(A(m))=(2m-6+2)-(m-3+8)=2m-4-m+3-8=m-9

b)

det(A(m))=0

m-9=0

m=9

c)

m=9

det(A(9))=9-9=0

$\left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&9\\\end{array}\right|=9-4=5\neq 0$⇒ rang =2

$\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=0 \\ 2 x+9 y+z=0 \\ x-3 y+2 z=0\end{array}\right$

Scadem din prima pe ultima si obtinem:

2y-(-3y)+z-2z=0

5y-z=0

z=5y

Scadem din  a doua pe prima si obtinem:

x+7y=0

x=-7y

$\frac{x^2+y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49y^2+y^2-25y^2}{49y^2+y^2+25y^2} =\frac{25y^2}{75y^2}=\frac{1}{3}$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919074

#BAC2022

#SPJ4